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常微分方程期末考试题及答案
常微分方程期末考试题及答案 常微分方程，这绝对是高等数学中一个令人头疼但又至关重要的环节。它不仅仅是公式和符号的堆砌，更是解决实际问题的桥梁。期末考试对于这一知识体系的掌握程度有着严苛的考验，而以下问题，希望能帮助大家回顾和巩固常微分方程的核心考点。 问题一： 已知方程 y'' + 2y' + y = 0。求该方程的通解。 (提示：使用特性方程求解) 答案： 令 r² + 2r + 1 = 0，解得 r₁ = r₂ = -1。因此，通解为 y(x) = C₁e^(-x) + C₂e^(x)。 问题二： 若 y' + y = e^(-x)，求该方程的通解。 答案： 令 r² + 1 = 0，解得 r₁ = i, r₂ = -i。因此，通解为 y(x) = C₁cos(x) + C₂sin(x)。 问题三： 讨论常微分方程解的稳定性。稳定性对实际问题有什么意义？ 答案： 常微分方程的解的稳定性取决于方程本身的特性，以及初始条件的选取。例如，一个解的稳定性可能意味着在未来一段时间内，该解在初始点附近保持一定的状态，而另一个解可能迅速衰减或增长。 稳定性在控制理论、工程设计等领域有着广泛的应用，是确保系统在期望下运行的关键。 总结： 备考常微分方程，核心在于理解特性方程的求解方法，熟练掌握不同类型方程的解法，并且深刻理解稳定性概念。 千万不要只死记公式，要理解背后的逻辑，才能真正掌握常微分方程的精髓。 祝大家期末考试顺利！
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常微分方程
2025-07-17
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