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复变函数与积分变换 期末试卷及答案(A卷)
复变函数与积分变换 期末试卷及答案(A卷) 考试时间：2023年12月15日 9:00-11:00 说明： 本卷共10道题，总分100分。请在答题纸上写清答案，解答需清晰、完整，并尽可能展示你的计算过程。 第一题 (10分) 设 f(z) = z^2 + 2iz + 1，求 f(z) 的极点及极点对应的极次。参考词条：复变函数中极点的概念及计算。 第二题 (10分) 证明：对于任何满足条件的复函数 f(z)，其积分 ∫_C f(z) dz (C为闭合曲线) 必为零。这需要用到复变函数积分变换的性质。 第三题 (10分) 已知 f(z) = e^z，求 f(z) 在复平面上的积分变换。 考虑使用积分变换的概念，并与复变函数理论联系起来。 第四题 (10分) 用复变函数的极坐标表示，求曲线 r = 2sin(θ) (0 ≤ θ ≤ π) 的积分变换。 这一题涉及到积分变换在不同坐标系下的应用。 第五题 (10分) 若 z = x + iy (i为虚数单位)，则求 |z|^2 的表达式，并说明其与 z 的关系。 这一题考察对复数的理解。 第六题 (10分) 利用复变函数的性质，求解以下方程： 1+z+z^2 = 0。 这需要运用复变函数的求解技巧。 第七题 (10分) 定义积分变换： I(f)(x) = ∫_(-∞)^∞ f(x) F(x) dx 其中F(x)是频域函数。 请解释这个积分变换在物理和工程领域的应用。 参考搜索词条：复变函数与积分变换模拟题，讨论积分变换的广义应用。 第八题 (10分) 证明：如果 f(z) 在 C(0,R) 内解析，则对任意的R>0， 积分 ∫_C f(z) dz 趋近于0。 这个是关于积分变换收敛性的重要证明。 第九题 (10分) 对于以下函数，判断其是否在复平面上具有解析性，并说明理由： f(z) = 1/z。 第十题 (10分) 简述复变函数与积分变换之间的关系，以及它们在科学与工程领域中的应用展望。 模拟题应涵盖概念和应用。
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复变函数与积分变换
2025-08-06
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